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2023-05(5)

2023-06(6)

【博客工具】typora中的数学公式（字典型，用时查阅）

发布于2021-03-08 20:10     阅读(893)     评论(0)     点赞(26)     收藏(5)

文章目录


注意：有一些公式在csdn中无法显示，但是在typora中可以显示出来，可以自己在本地上的typora上使用体验一下

LaTeX编辑数学公式基本语法元素

LaTeX中数学模式有两种形式：inline和display。前者是指正文插入行间数学公式，后者独立排列，可以有或没有编号。

行间公式（inline）：用 $...$ 将公式括起来
块间公式（display）：用 $$...$$ 将公式括起来，默认显示在行中间

1. 各类希腊字母表

希腊字母代号希腊字母代号希腊字母代号希腊字母代号
α\alphaθ\thetaooτ\tau
β\betaϑ\varthetaπ\piυ\upsilon
γ\gammaι\iotaϖ\varpiϕ\phi
δ\deltaκ\kappaρ\rhoφ\varphi
ϵ\epsilonλ\lambdaϱ\varrhoχ\chi
ε\varepsilonμ\muσ\sigmaψ\psi
ζ\zetaν\nuς\varsigmaω\omega
η\etaξ\xiΣ\SigmaΨ\Psi
Γ\GammaΛ\LambdaΥ\UpsilonΩ\Omega
Δ\DeltaΞ\XiΦ\Phi
Θ\ThetaΠ\Pi

2. 如何输入括号和分隔符

()、[] 和 | 表示符号本身，使用 \{\} 来表示 {} 。当要显示大号的括号或分隔符时，要用 \left 和 \right 命令。

一些特殊的括号：

输入显示输入显示
\langle ⟨ \langle ⟨\rangle ⟩ \rangle ⟩
\lceil ⌈ \lceil ⌈\rceil ⌉ \rceil ⌉
\lfloor ⌊ \lfloor ⌊\rfloor ⌋ \rfloor ⌋
\lbrace { \lbrace {\rbrace } \rbrace }
\lvert ∣ \lvert ∣\rvert ∣ \rvert ∣
\lVert ∥ \lVert ∥\rVert ∥ \rVert ∥

有时，我们需要在行内使用两个竖杠表示向量间的某种空间距离，可以这样写
$\lVert \boldsymbol{X}_i - \boldsymbol{S}_j \rVert^2$ → ∥ X i − S j ∥ 2 \lVert \boldsymbol{X}_i - \boldsymbol{S}_j \rVert^2 ∥Xi​−Sj​∥2

示例

$$ 
f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) 
$$

结果
f ( x , y , z ) = 3 y 2 z ( 3 + 7 x + 5 1 + y 2 ) f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) f(x,y,z)=3y2z(3+1+y27x+5​)

有时要用 \left. 或 \right. 进行匹配而不显示本身。

示例

$$
\left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0} 
$$

结果
d u d x ∣ x = 0 \left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0} dxdu​∣∣∣∣​x=0​

3. 三角运算符

输入显示输入显示输入显示
\backsim ∽ \backsim ∽\cong ≅ \cong ≅\angle A ∠ A \angle A ∠A
\sin sin ⁡ \sin sin\cos cos ⁡ \cos cos\tan tan ⁡ \tan tan
\csc csc ⁡ \csc csc\sec sec ⁡ \sec sec\cot cot ⁡ \cot cot

4. 微积分运算符

输入显示输入显示输入显示
\int ∫ \int ∫\iint ∬ \iint ∬\iiint ∭ \iiint ∭
\partial ∂ \partial ∂\oint ∮ \oint ∮\prime ′ \prime ′
\lim lim ⁡ \lim lim\infty ∞ \infty ∞\nabla ∇ \nabla ∇

5. 逻辑运算符

输入显示输入显示输入显示
\because ∵ \because ∵\therefore ∴ \therefore ∴\neg ¬ \neg ¬
\forall ∀ \forall ∀\exists ∃ \exists ∃\not\subset ⊄ \not\subset ​⊂
\not< ≮ \not< ​<\not> ≯ \not> ​>\not= ≠ \not= ​=

6. 上下标

下标：$x_i$ → x i x_i xi​

上标：$x^i$ → x i x^i xi

注意 ：上下标如果多余一个字母或者符号，需要用一对{}括起来：

多个字母下标：$x_{i1}$ → x i 1 x_{i1} xi1​

多个字母上标：$x^{i1}$ → x i 1 x^{i1} xi1

另外，如果要在左右两边都有上下标，可以使用 \sideset 命令；也可以简单地在符号前面多打一个上下标，此时会以行内公式渲染。

示例：

$$
\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes \quad or \quad {^1_2}\bigotimes {^3_4} 
$$

结果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \sideset at position 2: \̲s̲i̲d̲e̲s̲e̲t̲{^1_2}{^3_4} \b…

7. 根号

根号：$\sqrt[n]{5}$ → 5 n \sqrt[n]{5} n5 ​

8. 省略号

省略号：$\dots$ → … \dots … || $\cdots$ → ⋯ \cdots ⋯

9. 运算符

基本运算符：+ - * /等可以直接输入，其他特殊的有：

\pm\times\div\cdot\cap\cup\geq\leq\neq\approx\equix
±×÷⋅∩∪≥≤ ≠ \neq ​=≈≡

求和：$\sum_1^n$ → ∑ 1 n \sum_1^n ∑1n​

累乘：$\prod_{n=1}^{99}x_n$ → ∏ n = 1 99 x n \prod_{n=1}^{99}x_n ∏n=199​xn​

积分：$\int_1^n$ → ∫ 1 n \int_1^n ∫1n​

极限：$\lim\limits _ {x \to \infty}$ → lim ⁡ x → ∞ \lim\limits _ {x \to \infty} x→∞lim​

10. 分数

分数的表示：$\frac{3}{8}$ → 3 8 \frac{3}{8} 83​

11. 矩阵和行列式

示例

$$
\begin{matrix}
1&x&x^2\\
1&y&y^2\\
1&z&z^2\\
\end{matrix}
$$

结果
1 x x 2 1 y y 2 1 z z 2

1xx21yy21zz2
111​xyz​x2y2z2​

12. 行列式

使用 \cdots , \ddots , \vdots 来输入省略符号。

示例：

$$
X=\left|
	\begin{matrix}
	x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1d}\\
	x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2d}\\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
	x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{md} \\
    \end{matrix}
    \right|
$$

结果
X = ∣ x 11 x 12 ⋯ x 1 d x 21 x 22 ⋯ x 2 d ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x m 1 x m 2 ⋯ x m d ∣ X=\left|

x11x12⋯x1dx21x22⋯x2d⋮⋮⋱⋮xm1xm2⋯xmd
\right| X=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​x11​x21​⋮xm1​​x12​x22​⋮xm2​​⋯⋯⋱⋯​x1d​x2d​⋮xmd​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

在开头将 matrix 替换为 pmatrix bmatrix Bmatrix vmatrix Vmatrix 。

示例

$ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} $
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} $
$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} $
$ \begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Bmatrix} $
$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} $
$ \begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Vmatrix} $

结果

matrixpmatrixbmatrixBmatrixvmatrixVmatrix
$
12 34 
$		$
(12 34 )
$		$
[12 34 ]
$		$
{12 34 }
$		$
|12 34 |
$		$
‖12 34 ‖
$

13. 如何输入带分割符号的矩阵

示例

$$
\left[    
    \begin{array}{cc|c}        
        1 & 2 & 3 \\        
        4 & 5 & 6 \\    
    \end{array}
\right]
$$

结果
[ 1 2 3 4 5 6 ] \left[

123456
\right] [14​25​36​]

其中 cc|c 代表在一个三列矩阵中的第二和第三列之间插入分割线。

14. 如何输入向量

使用 \vec{向量} 来自动产生一个向量。也可以使用 \overrightarrow 等命令自定义字母上方的符号。

示例

$$ 
\vec{a} \cdot \vec{b}=0 
$$

结果
a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a} \cdot \vec{b}=0 a ⋅b =0
示例

$$ 
xy \text{ with arrows:} 
\quad 
\overleftarrow{xy} \;
\mid \;
\overleftrightarrow{xy} \;
\mid \;
\overrightarrow{xy} 
$$

结果
x y  with arrows: x y ←    ∣    x y ↔    ∣    x y → xy \text{ with arrows:} \quad \overleftarrow{xy} \; \mid \; \overleftrightarrow{xy} \; \mid \; \overrightarrow{xy} xy with arrows:xy ​∣xy ​∣xy ​

15. 如何输入积分

使用 \int_积分下限^积分上限 {被积表达式} 来输入一个积分。

示例

$$
\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x 
$$

结果
∫ 0 1 x 2   d x \int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x ∫01​x2dx

本例中 \, 和 {\rm d} 部分可省略，但加入能使式子更美观

16. 如何进行字体转换

若要对公式的某一部分字符进行字体转换，可以用 {\字体 {需转换的部分字符}} 命令，其中 \字体 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下，公式默认为斜体字 。

示例中 全部大写 的字体仅大写可用。

输入全字母可用显示输入仅大写可用显示
\rm罗马体 s a m p l e \rm {sample} sample\mathcal花体（数学符号等） s a m p l e \mathcal {sample} sample
\it斜体 s a m p l e \it {sample} sample\mathbb黑板粗体（定义域等） s a m p l e \mathbb {sample} sample
\bf粗体 s a m p l e \bf {sample} sample\mit数学斜体KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mit at position 1: \̲m̲i̲t̲ ̲{sample}
\sf等线体 s a m p l e \sf {sample} sample\scr手写体KaTeX parse error: Undefined control sequence: \scr at position 1: \̲s̲c̲r̲ ̲{sample}
\tt打字机体 s a m p l e \tt {sample} sample
\frak旧德式字体 s a m p l e \frak {sample} sample

@lymd \boldsymbol{\alpha} 用来表示向量或者矩阵的加粗斜体，如向量 。

转换字体十分常用，例如在积分中：

示例

\begin{array}{cc}
    \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\    
    \hline \\    
    \int_0^1 x^2 dx & \int_0^1 x^2 \,{\rm d}x
\end{array}

结果

B a d B e t t e r ∫ 0 1 x 2 d x ∫ 0 1 x 2   d x

BadBetter∫01x2dx∫01x2dx
Bad∫01​x2dx​Better∫01​x2dx​​
注意比较两个式子间 与 的不同。
使用 \operatorname 命令也可以达到相同的效果。

17. 如何高亮一行公式

使用 \bbox[底色, (可选)边距, (可选)边框 border: 框宽度 框类型 框颜色] 命令来高亮一行公式。
边距及框宽度支持 绝对像素 px 或 相对大小 em，框类型支持 实线 solid 或 虚线 dashed。

示例

$$
\bbox[yellow]{    e^x=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \qquad (1)}
$$

结果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \bbox at position 2: \̲b̲b̲o̲x̲[yellow]{ e^…
示例

$$
\bbox[#9ff, 5px]{ #此处向外添加 5 像素的边距    
e^x=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \qquad (1)}
$$

结果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \bbox at position 2: \̲b̲b̲o̲x̲[#9ff, 5px]{e^x…

示例

$$
#此处使用 0.5 倍行高作为边距，附加 2 像素的实线边框（Ctrl+Alt+Y 可见）
\bbox[#2f3542, 0.5em, border:2px solid #f1f2f6]{    \color{#f1f2f6}{e^x=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \qquad (1)}}
$$

结果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \bbox at position 2: \̲b̲b̲o̲x̲[#2f3542, 0.5em…

18. 更改文字颜色

使用 \color{颜色}{文字} 来更改特定的文字颜色。

更改文字颜色需要浏览器支持 ，如果浏览器不知道你所需的颜色，那么文字将被渲染为黑色。对于较旧的浏览器（HTML4 & CSS2），以下颜色是被支持的：

输入显示输入显示
black s a m p l e \color{black}{sample} samplegrey s a m p l e \color{grey}{sample} sample
silver s a m p l e \color{silver}{sample} samplewhite s a m p l e \color{white}{sample} sample
maroon s a m p l e \color{maroon}{sample} samplered s a m p l e \color{red}{sample} sample
yellow s a m p l e \color{yellow}{sample} samplelime s a m p l e \color{lime}{sample} sample
olive s a m p l e \color{olive}{sample} samplegreen s a m p l e \color{green}{sample} sample
teal s a m p l e \color{teal}{sample} sampleauqa s a m p l e \color{auqa}{sample} sample
blue s a m p l e \color{blue}{sample} samplenavy s a m p l e \color{navy}{sample} sample
purple s a m p l e \color{purple}{sample} samplefuchsia s a m p l e \color{fuchsia}{sample} sample

对于较新的浏览器（HTML5 & CSS3），HEX 颜色将被支持：

输入 \color {#rgb} {text} 来自定义更多的颜色，其中 #rgb 或 #rrggbb 的 r g b 可输入 0-9 和 a-f 来表示红色、绿色和蓝色的纯度（饱和度）。

示例

\begin{array}
    {|rrrrrrrr|}
    \hline
    \verb+#000+ & \color{#000}{text} & & &    \verb+#00F+ & \color{#00F}{text} & & \\
    & & \verb+#0F0+ & \color{#0F0}{text} &    & & \verb+#0FF+ & \color{#0FF}{text} \\
    \verb+#F00+ & \color{#F00}{text} & & &    \verb+#F0F+ & \color{#F0F}{text} & & \\
    & & \verb+#FF0+ & \color{#FF0}{text} &    & & \verb+#FFF+ & \color{#FFF}{text} \\
    \hline
\end{array}

结果
#000 t e x t #00F t e x t #0F0 t e x t #0FF t e x t #F00 t e x t #F0F t e x t #FF0 t e x t #FFF t e x t

#000text#00Ftext#0F0text#0FFtext#F00text#F0Ftext#FF0text#FFFtext
#000#F00​texttext​#0F0#FF0​texttext​#00F#F0F​texttext​#0FF#FFF​texttext​​

示例

\begin{array}{|rrrrrrrr|}
    \hline
    \verb+#000+ & \color{#000}{text} & \verb+#005+ & \color{#005}{text} & \verb+#00A+ & \color{#00A}{text} & \verb+#00F+ & \color{#00F}{text}  \\
    \verb+#500+ & \color{#500}{text} & \verb+#505+ & \color{#505}{text} & \verb+#50A+ & \color{#50A}{text} & \verb+#50F+ & \color{#50F}{text}  \\
    \verb+#A00+ & \color{#A00}{text} & \verb+#A05+ & \color{#A05}{text} & \verb+#A0A+ & \color{#A0A}{text} & \verb+#A0F+ & \color{#A0F}{text}  \\
    \verb+#F00+ & \color{#F00}{text} & \verb+#F05+ & \color{#F05}{text} & \verb+#F0A+ & \color{#F0A}{text} & \verb+#F0F+ & \color{#F0F}{text}  \\
    \hline
    \verb+#080+ & \color{#080}{text} & \verb+#085+ & \color{#085}{text} & \verb+#08A+ & \color{#08A}{text} & \verb+#08F+ & \color{#08F}{text}  \\
    \verb+#580+ & \color{#580}{text} & \verb+#585+ & \color{#585}{text} & \verb+#58A+ & \color{#58A}{text} & \verb+#58F+ & \color{#58F}{text}  \\
    \verb+#A80+ & \color{#A80}{text} & \verb+#A85+ & \color{#A85}{text} & \verb+#A8A+ & \color{#A8A}{text} & \verb+#A8F+ & \color{#A8F}{text}  \\
    \verb+#F80+ & \color{#F80}{text} & \verb+#F85+ & \color{#F85}{text} & \verb+#F8A+ & \color{#F8A}{text} & \verb+#F8F+ & \color{#F8F}{text}  \\
    \hline
    \verb+#0F0+ & \color{#0F0}{text} & \verb+#0F5+ & \color{#0F5}{text} & \verb+#0FA+ & \color{#0FA}{text} & \verb+#0FF+ & \color{#0FF}{text}  \\
    \verb+#5F0+ & \color{#5F0}{text} & \verb+#5F5+ & \color{#5F5}{text} & \verb+#5FA+ & \color{#5FA}{text} & \verb+#5FF+ & \color{#5FF}{text}  \\
    \verb+#AF0+ & \color{#AF0}{text} & \verb+#AF5+ & \color{#AF5}{text} & \verb+#AFA+ & \color{#AFA}{text} & \verb+#AFF+ & \color{#AFF}{text}  \\
    \verb+#FF0+ & \color{#FF0}{text} & \verb+#FF5+ & \color{#FF5}{text} & \verb+#FFA+ & \color{#FFA}{text} & \verb+#FFF+ & \color{#FFF}{text}  \\
    \hline
\end{array}

结果

#000 t e x t #005 t e x t #00A t e x t #00F t e x t #500 t e x t #505 t e x t #50A t e x t #50F t e x t #A00 t e x t #A05 t e x t #A0A t e x t #A0F t e x t #F00 t e x t #F05 t e x t #F0A t e x t #F0F t e x t #080 t e x t #085 t e x t #08A t e x t #08F t e x t #580 t e x t #585 t e x t #58A t e x t #58F t e x t #A80 t e x t #A85 t e x t #A8A t e x t #A8F t e x t #F80 t e x t #F85 t e x t #F8A t e x t #F8F t e x t #0F0 t e x t #0F5 t e x t #0FA t e x t #0FF t e x t #5F0 t e x t #5F5 t e x t #5FA t e x t #5FF t e x t #AF0 t e x t #AF5 t e x t #AFA t e x t #AFF t e x t #FF0 t e x t #FF5 t e x t #FFA t e x t #FFF t e x t

#000text#005text#00Atext#00Ftext#500text#505text#50Atext#50Ftext#A00text#A05text#A0Atext#A0Ftext#F00text#F05text#F0Atext#F0Ftext#080text#085text#08Atext#08Ftext#580text#585text#58Atext#58Ftext#A80text#A85text#A8Atext#A8Ftext#F80text#F85text#F8Atext#F8Ftext#0F0text#0F5text#0FAtext#0FFtext#5F0text#5F5text#5FAtext#5FFtext#AF0text#AF5text#AFAtext#AFFtext#FF0text#FF5text#FFAtext#FFFtext
#000#500#A00#F00#080#580#A80#F80#0F0#5F0#AF0#FF0​texttexttexttexttexttexttexttexttexttexttexttext​#005#505#A05#F05#085#585#A85#F85#0F5#5F5#AF5#FF5​texttexttexttexttexttexttexttexttexttexttexttext​#00A#50A#A0A#F0A#08A#58A#A8A#F8A#0FA#5FA#AFA#FFA​texttexttexttexttexttexttexttexttexttexttexttext​#00F#50F#A0F#F0F#08F#58F#A8F#F8F#0FF#5FF#AFF#FFF​texttexttexttexttexttexttexttexttexttexttexttext​​

19. 添加删除线

使用删除线功能必须声明 $$ 符号。

在公式内使用 \require{cancel} 来允许片段删除线的显示。
声明片段删除线后，使用 \cancel{字符}、\bcancel{字符}、\xcancel{字符} 和 \cancelto{字符} 来实现各种片段删除线效果。

示例

$$
\require{cancel}
\begin{array}{rl}
    \verb|y+\cancel{x}| & y+\cancel{x} \\
    \verb|\cancel{y+x}| & \cancel{y+x} \\
    \verb|y+\bcancel{x}| & y+\bcancel{x} \\
    \verb|y+\xcancel{x}| & y+\xcancel{x} \\
    \verb|y+\cancelto{0}{x}| & y+\cancelto{0}{x} \\
    \verb+\frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15+& \frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15 \\
\end{array}
$$

结果
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \require at position 2: \̲r̲e̲q̲u̲i̲r̲e̲{cancel} \begin…

20. 包围公式

分别使用 circle 和 roundedbox 包围的公式

示例

$$
\require{enclose}
\begin{array}{c}
    \enclose{circle}{f(\top),\, f^2(\top),\, f^3(\top) \,\cdots\, f^n(\top)} \\
    \enclose{roundedbox}{f(\bot),\, f^2(\bot),\, f^3(\bot) \,\cdots\, f^n(\bot)} \\
\end{array}
$$

结果


\require{enclose}
\enclosecirclef(⊤),,f2(⊤),,f3(⊤),⋯,fn(⊤) \encloseroundedboxf(⊥),,f2(⊥),,f3(⊥),⋯,fn(⊥) 


使用 box 框住所有公式

示例

$$
\require{enclose}
\enclose{box}{
    \begin{array}{c}
        f(\top),\, f^2(\top),\, f^3(\top) \,\cdots\, f^n(\top) \\
        f(\bot),\, f^2(\bot),\, f^3(\bot) \,\cdots\, f^n(\bot) \\
    \end{array}
}
$$

结果


\require{enclose}
\enclose{box}{
f(⊤),,f2(⊤),,f3(⊤),⋯,fn(⊤) f(⊥),,f2(⊥),,f3(⊥),⋯,fn(⊥) 

}

21. 箭头

符号表达式符号表达式
←\lefrarrow⟵\longleftarrow
→\rightarrow⟶\longrightarrow
↔\leftrightarrow⟷\longleftrightarrow
⇐\Leftarrow⟸\Longleftarrow
⇒\Rightarrow⟹\Longrightarrow
⇔\Leftrightarrow⟺\Longleftrightarrow

22. 方程式

示例

$$
\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}
$$

结果
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ E=mc^2 \end{eq…

23. 分隔符

各种括号用 () [] { } \langle\rangle 等命令表示,注意花括号通常用来输入命令和环境的参数,所以在数学公式中它们前面要加 \。可以在上述分隔符前面加 \big \Big \bigg \Bigg 等命令来调整大小。

示例

$$
\max \limits_{a<x<b} \Bigg\{f(x)\Bigg\}
$$

结果
max ⁡ a < x < b { f ( x ) } \max \limits_{a<x<b} \Bigg\{f(x)\Bigg\} a<x<bmax​{f(x)}
示例

\quad #空格
$$
\max \limits_{a<x<b} \Bigg\{\quad f(x)\quad\Bigg\}
$$

max ⁡ a < x < b { f ( x ) } \max \limits_{a<x<b} \Bigg\{\quad f(x)\quad\Bigg\} a<x<bmax​{f(x)}

24. 分段函数

示例

$$
f(n) = 
	\begin{cases}
		n/2, & \text {if $n$ is even}\\
		3n+1, & \text {if $n$ is odd}
	\end{cases}
$$

结果
f ( n ) = { n / 2 , if  n  is even 3 n + 1 , if  n  is odd f(n) =

{n/2,if n is even3n+1,if n is odd
f(n)={n/2,3n+1,​if n is evenif n is odd​

25. 如何输入一个左侧对齐的条件表达式

若想让文字在左侧对齐显示，则有如下方式：

示例

$$
	\left.
    	\begin{array}{l}
    		\text{if $n$ is even:} & n/2 \\
    		\text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\
    	\end{array}
    \right\}
    =f(n)
$$

结果

if  n  is even: n / 2 if  n  is odd: 3 n + 1 } = f ( n ) \left.

if n is even:n/2if n is odd:3n+1
\right\} =f(n) if n is even:if n is odd:​n/23n+1​}=f(n)

26. 方程组

示例

$$
\left\{
\begin{array}{c}
	a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
	a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
	a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right. # 注意right后面有个小数点
$$

结果
{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 \left\{

a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3
\right. ⎩⎨⎧​a1​x+b1​y+c1​z=d1​a2​x+b2​y+c2​z=d2​a3​x+b3​y+c3​z=d3​​

27. 如何使条件表达式适配行高

在一些情况下，条件表达式中某些行的行高为非标准高度，此时使用 \\[2ex] 语句代替该行末尾的 \\ 来让编辑器适配。

  • 例子：

不适配[2ex]

$$
f(n) =
	\begin{cases}        
		\frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\
		3n+1,        & \text{if $n$ is odd} \\
	\end{cases}
$$

适配[2ex]

$$
f(n) =
	\begin{cases}        
		\frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\
		3n+1,        & \text{if $n$ is odd} \\    
	\end{cases}
$$
  • 显示：
不适配[2ex]适配[2ex]
$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if n n n is even} \ 3n+1, & \text{if n n n is odd} \ \end{cases}$$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if n n n is even} \ 3n+1, & \text{if n n n is odd} \ \end{cases}$

一个 [ex] 指一个 “X-Height”，即 x 字母高度。可以根据情况指定多个 [ex]，如 [3ex]、[4ex] 等。
其实可以在任意换行处使用 \\[2ex] 语句，只要你觉得合适。

28. 数组与表格使用参考之如何输入一个数组或表格

通常，一个格式化后的表格比单纯的文字或排版后的文字更具有可读性。
数组和表格均以 \begin{array} 开头，并在其后定义列数及每一列的文本对齐属性，c l r 分别代表居中、左对齐及右对齐。若需要插入垂直分割线，在定义式中插入 | ，若要插入水平分割线，在下一行输入前插入 \hline 。
与矩阵相似，每行元素间均须要插入 & ，每行元素以 \\ 结尾，最后以 \ end{array} 结束数组。
使用单个数组或表格时无需声明 $ 或 $$ 符号。

示例

\begin{array}{c|lcr}    
	n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\    
	\hline    
	1 & 0.24 & 1 & 125 \\    
	2 & -1 & 189 & -8 \\    
	3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}

结果
n 左对齐 居中对齐 右对齐 1 0.24 1 125 2 − 1 189 − 8 3 − 20 2000 1 + 10 i

n左对齐居中对齐右对齐10.2411252−1189−83−2020001+10i
n123​左对齐0.24−1−20​居中对齐11892000​右对齐125−81+10i​​

左对齐居中对齐右对齐

29. 数组与表格使用参考之如何输入一个嵌套的数组或表格

多个数组\表格可 互相嵌套 并组成一组数组或表格。
使用嵌套前必须声明 $$ 符号。

示例

$$
\begin{array}{c} % 总表格    
\begin{array}{cc} % 第一行内分成两列        
\begin{array}{c|cccc} % 第一列"最小值"数组            
\text{min} & 0 & 1 & 2 & 3 \\            
\hline            
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array}
&
\begin{array}{c|cccc} % 第二列"最大值"数组
\text{max} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
\end{array}
\end{array} % 第一行表格组结束    \\    
\begin{array}{c|cccc} % 第二行 Delta 值数组        
\Delta & 0 & 1 & 2 & 3 \\        
\hline        
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\end{array} % 第二行表格结束
\end{array} % 总表格结束
$$

结果
min 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 0 1 2 2 3 0 1 2 3 max 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Δ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 3 3 2 1 0

\begin{array}{c} \begin{array}{cc} \begin{array}{c|cccc} \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}
&
max012300123111232222333333
\end{array} \\
Δ012300123110122210133210
\end{array} min0123​00000​10111​20122​30123​​​max0123​00123​11123​22223​33333​​​Δ0123​00123​11012​22101​33210​​​

案例

1. 线性模型

示例

$$
h(\theta)=\sum_{j=0}^n \theta_j x_j
$$

结果
h ( θ ) = ∑ j = 0 n θ j x j h(\theta)=\sum_{j=0}^n \theta_j x_j h(θ)=j=0∑n​θj​xj​

2. 均方误差

示例

$$
J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=0}^m (y^i-h_\theta (x^i))^2
$$

结果
J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 0 m ( y i − h θ ( x i ) ) 2 J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=0}^m (y^i-h_\theta (x^i))^2 J(θ)=2m1​i=0∑m​(yi−hθ​(xi))2

3. 批量梯度下降

示例

$$
\frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j} = -\frac{1}{m}\sum_{i=0}^m (y^i - h_\theta (x^i))x^i_j
$$

结果
∂ J ( θ ) ∂ θ j = − 1 m ∑ i = 0 m ( y i − h θ ( x i ) ) x j i \frac{\partial J(\theta)}{\partial\theta_j} = -\frac{1}{m}\sum_{i=0}^m (y^i - h_\theta (x^i))x^i_j ∂θj​∂J(θ)​=−m1​i=0∑m​(yi−hθ​(xi))xji​

4. 推导过程

示例：

$$
\begin{align}
    \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}
    & = - \frac{1}{m} \sum_{i=0}^m (y^i-h_\theta(x^i))\frac{\partial}{\partial\theta_j}(y^i-h_\theta(x^i))\\
    & = -\frac{1}{m}\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta(x^i))\frac{\partial}{\partial\theta_j}(\sum_{j=0}^n\theta_j x^i_j - y^i)\\
    & = - \frac{1}{m}\sum_{i=0}^m(y^i-h_\theta (x^i))x^i_j
\end{align}
$$

结果
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \frac{\partial…

参考文档

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